Question

9．若抛物线y=x²+bx+c与x轴、y轴交于三个不同的点A、B、C，当实数b、c变化时，△ABC的外接圆一定经过定点，此定点的坐标为（0，1）．

Answer 1

分析 先设出A、B、C三点的坐标，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，再根据圆上各点到圆心的距离相等，最终通过讨论可以得到不管b、c如何变换，外接圆都过一个定点，从而解答此题．

解答 解：设抛物线与x轴的交点A的坐标为（x_1，0），B的坐标为（x_2，0），与y轴交点C的坐标为（0，c）
∵x₁+x₂=-b，x₁x₂=c
三角形外接圆的圆心在边AB的垂直的平分线上，即在在抛物线的对称轴$x=-\frac{b}{2}$上，故设圆心P的坐标为$（-\frac{b}{2}，t）$
PA²=PC²
∴$（{x}_{1}+\frac{b}{2}）^{2}+{t}^{2}=（-\frac{b}{2}）^{2}+（t-c）^{2}$
展开化简，得
${{x}_{1}}^{2}+b{x}_{1}={c}^{2}-2tc$
得$t=\frac{{{x}_{1}}^{2}+b{x}_{1}-{c}^{2}}{-2c}$
∵${{x}_{1}}^{2}+b{x}_{1}+c=0$
∴$t=\frac{-c-{c}^{2}}{-2c}$
得t=$\frac{c+1}{2}$，$t-c=\frac{1-c}{2}$
∴圆的半径得平方=PC²=$\frac{{b}^{2}}{4}+（\frac{1-c}{2}）^{2}$
∴圆的方程为：$（x+\frac{b}{2}）^{2}+（y-\frac{c+1}{2}）^{2}=（\frac{b}{4}）^{2}+（\frac{1-c}{2}）^{2}$
故当x=0时，y=1，所以不管b、c怎么变化，点（0，1）都满足圆的方程
故答案为：（0，1）

点评 本题考察抛物线与圆的关系，其中需要知道两点间的距离公式，三角形的外接圆圆心是三角形三边的垂直平分线交点．