Question

7．如图，矩形OABC，OA=9，AB=15，点E是BC上一点，沿AE折叠，使点B恰好落在x轴的点D处．
（1）求D、E点坐标；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△APD为等腰三角形？若存在，求出P点坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用折叠的特性可得出BE=DE，AD=AB，利用勾股定理求出OD，即可得出点D的坐标，再得DE²=DC²+EC²即可得出点E的坐标，
（2）分四种情况①AP=AD时，②当AD=PD时，③当AP=PD时，④如当AP=AD时分别求出点P的坐标即可．

解答 解：（1）∵点E是BC上一点，沿AE折叠，使点B恰好落在x轴的点D处．
∴BE=DE，AD=AB，
∵OA=9，AB=15，四边形OABC是矩形，
∴OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12，
∴D（12，0）
∴DC=15-12=3，
∵DE²=DC²+EC²
设CE=x，（9-x）²=9+x²，解得x=4，x=-4（舍去），
∴CE=4，
∴E（15，4）；
（2）①如图1，AP=AD时，

∵AD=15，
∴OP=OA+AD=9+15=24，
∴P（0，24）；
②如图2，当AD=PD时，

∵AO=9，
∴OP=9，
∴P（0，-9）；
③如图3，当AP=PD时，设AP=x，则OP=x-9，PD=x，

∵OD=12，
∴PD²=OP²+OD²，即x²=（x-9）²+12²，解得x=$\frac{75}{6}$，
∴OP=$\frac{75}{6}$-9=$\frac{7}{2}$，
∴P（0，-$\frac{7}{2}$），
④如图4，当AP=AD时，

∵AD=15，
∴OP=AP-AO=15-9=6，
∴P（0，-6）．
综上所述，在y轴上存在点P（0，24），P（0，-9），P（0，-$\frac{7}{2}$）或P（0，-6），使△APD为等腰三角形．

点评 本题主要考查了一次函数综合题，涉及等腰三角形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，解题的关键是能正确的分不同情况画图，解析．