Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BC=$\sqrt{6}$，点D是AB上的一点，且AD=$\sqrt{3}$，BD=3，将∠A沿过D点的直线DE对折，点A落在A′的位置，连接BA′、A′C、，若△A′BC是等腰三角形，则∠BA′D=120°或180°或90°．

Answer 1

分析 ①如图1，当A′B=A′C时，由AA′⊥BC，得到DE⊥BC，根据平行线的判定定理得到DE∥BC，过A′作A′G⊥AB，求得∠A′DG=180°-75°-75°=30°，A′D=$\sqrt{3}$，于是得到∠BA′D=180°-30°-30°=120°；②如图2，当BC=A′C时，根据相似三角形的性质得到BA′=3-$\sqrt{3}$，A′D=$\sqrt{3}$，求得∠BA′D=180°；③如图3，当BC=A′B时根据勾股定理得到逆定理得到∠BA′D=90°．

解答 解：①如图1，

当A′B=A′C时，AA′⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE∥BC，
过A′作A′G⊥AB，
∵∠A′DG=180°-75°-75°=30°，A′D=$\sqrt{3}$，
∴DG=$\frac{3}{2}$，
∵G为BD的中点，
∴∠BA′D=180°-30°-30°=120°；
②如图2，当BC=A′C时，

则△BCA′∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA′}$=$\frac{BA}{BC}$，
∴BA′=3-$\sqrt{3}$，A′D=$\sqrt{3}$，
∴∠BA′D=180°；
③如图3，当BC=A′B时，
∵BD²=BA²+AD²，

∴∠BA′D=90°．故答案为：120°或180°或90°．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．