Question

10．已知直线AB分别交x、y轴于A（a，0）、B两点，C（c，-2）为直线AB上一点且在第四象限内，若$\sqrt{{c}^{2}-4}$+a²+4=-4a．
（1）如图1，求A、C点的坐标；
（2）如图2，直线OM经过O点，过C作CM⊥OM于M，CN⊥y轴于点N，连接MN，求$\frac{OM+MC}{MN}$的值；
（3）如图3，过C作CN⊥y轴于点N，G为第三象限内一点，且∠NGO=45°，试探究GO、GN、GC之间的有怎么的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{{c}^{2}-4}$+a²+4=-4a．可得$\sqrt{{c}^{2}-4}$+（a+2）²=0因为$\sqrt{{c}^{2}-4}$≥0，（a+2）²≥0，所以c=±2，a=-2，由此即可解决问题．
（2）如图2中，作NQ⊥OM于Q，NP⊥MC于P，只要证明△NCP≌△NOQ，推出NP=NQ，PC=OQ，四边形MQNP是正方形，NM=$\sqrt{2}$MQ，由此即可解决问题．
（3）结论：GC²=OG²+2GN²．如图3中，作OP⊥NG于P，CQ⊥GN于Q，易知△POG，△CNO是等腰直角三角形，OP=PG，CN=ON，只要证明△NCQ≌△ONP，推出NQ=OP=PG，CQ=NP，设NQ=OP=PG=a，CQ=NP=b，因为GC²=CQ²+QG²=b²+（2a+b）²=4a²+4ab+2b²，GN²=（a+b）²=a²+2ab+b²，GO²=OP²+PG²=a²+a²=2a²，整体代入即可证明．

解答 解：（1）∵$\sqrt{{c}^{2}-4}$+a²+4=-4a．
∴$\sqrt{{c}^{2}-4}$+（a+2）²=0
∵$\sqrt{{c}^{2}-4}$≥0，（a+2）²≥0，
∴c=±2，a=-2，
∵点C在第四象限，
∴c=2，
∴点A（-1，0），点C（2，-2）．

（2）如图2中，作NQ⊥OM于Q，NP⊥MC于P，

∵∠PMO=∠MPN=∠NQM=90°
∴四边形MQNP是矩形，
∴∠PNQ=∠CNO=90°，
∴∠PNC=∠ONQ，
在△NCP和△NOQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠P=∠NQO=90°}\\{∠PNC=∠ONQ}\\{CN=ON}\end{array}\right.$，
∴△NCP≌△NOQ，
∴NP=NQ，PC=OQ，
∴四边形MQNP是正方形，NM=$\sqrt{2}$MQ，
∴$\frac{OM+MC}{MN}$=$\frac{MQ+OQ+PM-PC}{MN}$=$\frac{2MQ}{\sqrt{2}MQ}$=$\sqrt{2}$．

（3）结论：GC²=OG²+2GN²
理由：如图3中，作OP⊥NG于P，CQ⊥GN于Q，易知△POG，△CNO是等腰直角三角形，OP=PG，CN=ON，

∵∠CNQ+∠ONP=90°，∠ONP+∠NOP=90°，
∴∠CNQ=∠NOP，
在△NCQ和△ONP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CNQ=∠NOP}\\{∠Q=∠OPN}\\{CN=ON}\end{array}\right.$，
∴△NCQ≌△ONP，
∴NQ=OP=PG，CQ=NP，设NQ=OP=PG=a，CQ=NP=b，
∵GC²=CQ²+QG²=b²+（2a+b）²=4a²+4ab+2b²，GN²=（a+b）²=a²+2ab+b²，GO²=OP²+PG²=a²+a²=2a²，
∴GC²=OG²+2GN²．

点评 本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理、非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．