Question

14．有这样一个问题：探究函数y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）下表是y与x的几组对应值．

x

…

-3

-2

-1

$-\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

1

2

3

…

y

…

$\frac{25}{6}$

$\frac{3}{2}$

$-\frac{1}{2}$

$-\frac{15}{8}$

-$\frac{53}{18}$

$\frac{55}{18}$

$\frac{17}{8}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{5}{2}$

m

…

函数y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$的自变量x的取值范围是x≠0，m的值为$\frac{29}{6}$；
（2）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并画出该函数的大致图象；
（3）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有1个交点，所以对应方程$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$=0有1个实数根；
②方程$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$=2有3个实数根；
③结合函数的图象，写出该函数的一条性质函数没有最大值或这个函数没有最小值，函数图象没有经过第四象限．

Answer 1

分析 （1）观察函数解析式即可得到x≠0，求出x=3时的自变量的值即可解决问题．
（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）三个问题，观察函数图象即可解决．

解答 解：（1）由题意x≠0，m=$\frac{29}{6}$，
故答案为x≠0，$\frac{29}{6}$．

（2）函数图象如图所示．


（3）①由图象可知与x轴有一个交点，对应方程$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$=0有一个实数根．
故答案为1，1．

②观察图象可知，方程$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$=2有3个实数根，
故答案为3．

③在函数没有最大值或这个函数没有最小值，函数图象没有经过第四象限等，答案不唯一．
故答案为函数没有最大值或这个函数没有最小值，函数图象没有经过第四象限

点评 本题考查函数图象、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握描点法作图，学会利用函数图象解决实际问题，属于中考常考题型．