Question

4．某工厂生产的一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长x（单位：cm）在5到50之间（含5和50），每张薄板的出场价y（单位：元）由基础价a和浮动价b两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价b与薄板的边长x成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．

薄板的边长x（cm）	20	30
出厂价y（元/张）	50	70

（1）求一张薄板的出厂价y与边长x之间满足的函数关系式；
（2）每张薄板的成本价w（单位：元）与它的面积x²（单位：cm²）成正比例，已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润p是26元（利润=出厂价-成本价），
①求一张薄板的利润p与边长x之间满足的函数关系式．
②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据题意设b=kx，则y=kx+a，将表格中数据代入求解可得；
（2）①设w=mx²，从而得p=y-w=2x+10-mx²，将x=40、p=26代入即可得；
②将①中所求函数解析式配方成顶点式即可得出函数的最值．

解答 解：（1）设b=kx，则y=kx+a，
由表可得：$\left\{\begin{array}{l}{20k+a=50}\\{30k+a=70}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{a=10}\end{array}\right.$，
∴y=2x+10 （5≤x≤50）；

（2）①根据题意，设w=mx²，
则p=y-w=2x+10-mx²，
将x=40、p=26代入，得：80+10-1600m=26，
解得：m=$\frac{1}{25}$，
∴p=-$\frac{1}{25}$x²+2x+10，（5≤x≤50）；
②∵p=-$\frac{1}{25}$x²+2x+10=-$\frac{1}{25}$（x-25）²+35，
∴当x=25时，p取得最大值，最大值为35，
答：当边长为25时，出厂一张薄板所获得的利润最大，最大利润是35元．

点评 本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键．