Question

15．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB∥y轴，且AB=6，顶点B，C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，且点B的横坐标为2$\sqrt{3}$，则k=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作CD∥y轴，作BD⊥AB，交CD于D，解直角三角形求得CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，BD=$\sqrt{3}$BC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，设点B的坐标为（2$\sqrt{3}$，m），则C（2$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，m+$\frac{3}{2}$），再根据点B、C在反比例函数图象上，即可得出关于m、k的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．

解答 解：作CD∥y轴，作BD⊥AB，交CD于D，

∵AB∥y轴，
∴CD∥AB，
∴BD⊥CD，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=3，∠ABC=60°，
∴∠CBD=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，BD=$\sqrt{3}$BC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
设点B的坐标为（2$\sqrt{3}$，m），则C（2$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，m+$\frac{3}{2}$），
∵点B、C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=2$\sqrt{3}$m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（m+$\frac{3}{2}$），
解得m=$\frac{1}{2}$，
∴k=2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$；
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关于m、k的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出直角三角形一顶点的坐标，表示出其它两个顶点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组是关键．