Question

3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，OB=OD=3，C是第一象限内的点，且△BOD和△BCD关于直线BD轴对称．

（1）如图①，则点C的坐标为（3，3）．
（2）如图②，点M（m，0），N（0，n）（3＜n＜6），若∠MCN=90°，求m+n的值；
（3）如图③，若E、F分别为线段OB与线段OD上的动点（不包含线段端点），且∠ECF=45°，那么△OEF的周长是否是个定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质证明矩形OBCD是正方形，得到答案；
（2）证明△DCN≌△BCM，根据全等三角形的性质解答；
（3）以点C为旋转中心把△CDF逆时针旋转90°，得到△CBH，证明△FCE≌△HCE，求出△OEF的周长是定值．

解答 解：（1）∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=45°，
由折叠的性质可知，∠OBC=2∠OBD=90°，∠ODC=2∠ODB=90°，
又∠DOB=90°，
∴四边形OBCD是矩形，又OB=OD，
∴矩形OBCD是正方形，
∴点C的坐标为（3，3）
故答案为3；3；
（2）∵∠MCN=90°，∠DCB=90°，
∴∠DCN=∠BCM，
在△DCN和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCM=∠BCN}\\{CD=CB}\\{∠CDN=∠CBM}\end{array}\right.$，
∴△DCN≌△BCM，
∴DN=BM，
∴m+n=OB-BN+OD+DN=OB+OD=6；
（3）△OEF的周长是定值6，
以点C为旋转中心把△CDF逆时针旋转90°，得到△CBH，
∵∠ECF=45°，∠DCB=90°，
∴∠DCF+∠ECB=45°，
∴∠ECH=45°，
在△FCE和△HCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CF=CH}\\{∠FCE=∠HCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△FCE≌△HCE，
∴EF=EH，
∴△OEF的周长=OF+OE+EF=OF+OE+BE+DF=3+3=6．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、轴对称的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．