Question

4．如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为2cm的等边△ABC，点D是AC的中点，一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是$\sqrt{5}$cm．

Answer 1

分析 根据圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点B是半圆的一个端点，而点D是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和D在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离．

解答 解：∵圆锥的底面周长是2π，则2π=$\frac{nπ•2}{180}$，
∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°，
∴在圆锥侧面展开图中AD=1，AB=2，∠BAD=90°，
∴在圆锥侧面展开图中BD=$\sqrt{5}$，
∴这只蚂蚁爬行的最短距离是$\sqrt{5}$cm．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了平面展开--最短路径问题，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．