Question

9．今年是“精准扶贫”攻坚关键年，某扶贫工作队为对口扶贫村引进建立了一村集体企业，并无偿提供一笔无息贷款作为启动资金，双方约定：①企业生产出的产品全部由扶贫工作队既是联系商家收购；②企业从生产销售的利润中，要保证按时发放工人每月最低工资32000元．已知该企业生产的产品成本为20元/件，月生产量y（千件）与出厂价x（元）（25≤x≤50）的函数关系可用图中的线段AB和BC表示，其中AB的解析式为y=-$\frac{1}{20}$x+m（m为常数）．
（1）求该企业月生产量y（千件）与出厂价x（元）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当该企业生产出的产品出厂价定为多少元时，月利润W（元）最大？最大利润是多少？[月利润=（出厂价-成本）×月生产量-工人月最低工资]．

Answer 1

分析 （1）把（40，3）代入y=-$\frac{1}{20}$x+m得，3=-$\frac{1}{20}$×40+m，求得y=-$\frac{1}{20}$x+5，（25≤x≤40），设BC的解析式为：y=kx+b，把（40，3），（50，2）代入y=kx+b得得到y=-$\frac{1}{10}$x+7，（40＜x≤50）；
（2）设该企业生产出的产品出厂价定为x元时，月利润W（元）最大，根据题意得到二次函数的解析式，求得当x=40时，W_最大=30299元，当x=45时，W_最大=32342.5元，即可得到结论．

解答 解：（1）把（40，3）代入y=-$\frac{1}{20}$x+m得，3=-$\frac{1}{20}$×40+m，
∴m=5，
∴y=-$\frac{1}{20}$x+5，（25≤x≤40），
设BC的解析式为：y=kx+b，
把（40，3），（50，2）代入y=kx+b得，$\left\{\begin{array}{l}{3=40k+b}\\{2=50k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{10}}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{10}$x+7，（40＜x≤50），
综上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{20}x+5（25≤x≤40）}\\{-\frac{1}{10}x+7（40＜x≤50）}\end{array}\right.$；
（2）设该企业生产出的产品出厂价定为x元时，月利润W（元）最大，
根据题意得，W=（-$\frac{1}{20}$x+5）（x-20）-32000=-$\frac{1}{20}$x²+6x-32100=-$\frac{1}{20}$（x-60）²+33900，
∵25≤x≤40，
∴当x=40时，W_最大=30299元，
W=（-$\frac{1}{10}$x+7）（x-20）-32000=-$\frac{1}{10}$x²+9x-32140=-$\frac{1}{10}$（x-45）²+32342.5，
∵40＜x≤50，
∴当x=45时，W_最大=32342.5元，
∵30299＜32342.5，
∴当该企业生产出的产品出厂价定为45元时，月利润W（元）最大，最大利润是45元．

点评 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．