Question

15．如图，△ABC是等腰直角三角板，∠C=90°，AC=BC=6，将含30°角的三角板GMF的直角顶点与△ABC斜边AB的中点M重合，当三角板GMF的直角顶点绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边AC、BC交于D、E两点（D、E不与A、B重合）
（1）求证：CD=BE；
（2）求四边形MDCE的面积．

Answer 1

分析 （1）连接CM，然后证明∠CMD=∠BME，即可证明△BME≌△CMD，然后即可证CD=BE；
（2）利用三角形全等可知四边形MDCE的面积等于△CMB的面积．

解答 （1）证明：如图所示，连接CM，
可知∠B=∠MCD=45°，∠DMC+∠CME=∠BME+∠CME=90°，
则∠CMD=∠BME，
在△BME和△CMD中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DCM}\\{CM=CM}\\{∠DMC=∠BME}\end{array}\right.$
∴△BME≌△CMD（ASA），
∴CD=BE；

（2）解：因为△BME≌△CMD，
所以S_{四边形MDCE}=S_△DMC+S_△CME=S_△CMB，
在Rt△BMC中，BC=6，
所以BM=CM=3$\sqrt{2}$，
所以S_{四边形MDCE}=$\frac{1}{2}$CM•BM=9．

点评 本题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质，得出△BME≌△CMD（ASA）是解题关键．