Question

10．在平面直角坐系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，1）．点C在x轴上，且OA=AC，点D为x轴上一动点，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到线段AD′，若CD′=$\sqrt{2}$，则CD的长为2+$\sqrt{2}$或2-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据点A的坐标可求得AO、AC的长，再结合旋转的性质，判定△DAO≌△D'AC（SAS），得出DO=D'C=$\sqrt{2}$，最后分两种情况讨论，求得CD的长．

解答 解：∵点A的坐标为（1，1），
∴AO=$\sqrt{2}$=AC，OC=2，∠OCA=90°．
∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AD′，
∴AD=AD'，∠DAD'=90°，
∴∠DAO=∠D'AC，
在△DAO和△D'AC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD'}\\{∠DAO=∠D'AC}\\{OA=CA}\end{array}\right.$，
∴△DAO≌△D'AC（SAS）
∴DO=D'C=$\sqrt{2}$，
分两种情况：
①如图，当D在原点O左侧时，CD=CO+DO=2+$\sqrt{2}$；
②如图，当D在原点O右侧时，CD=CO-DO=2-$\sqrt{2}$；
故答案为：2+$\sqrt{2}$或2-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是分类讨论思想的运用，在解题时需要画出图形进行分析，做到不重复不遗漏．