Question

如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，点D是BC的中点，连结AD．点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动；点Q以2cm/s的速度沿B→D→A向终点A运动，当点Q停止时，点P也随之停止．过点P作PE∥BC，交AD于点E，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）请用含t的代数式表示线段QD的长；
（2）当点E与点Q重合时，求t的值；
（3）如图②，当点Q在AD边上运动时，以PE和EQ为边作?PEQF，设?PEQF和△ACD重叠部分图形的面积为s．
①求s与t的函数关系式；
②当?PEQF为菱形时，请直接写出t的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）本题分两种情况来解答：①当0＜t≤

3

2

时，点P在线段BD之间运动，当

3

2

＜t≤4时，点P在线段AD之间运动，得到结论．
（2）当点E与点Q重合时，AD=5，ED=2t-3，由△AEP∽△ADC可以求得t的值．
（3）求s与t的函数关系式分两种情况来讨论：①当

3

2

≤t≤

32

13

时，?PEQF和△ACD重叠部分图形的面积s就是平行四边形PEQF的面积结合（1）（2）两问求得EP和平行四边形PEQF的高度可以得到答案．②当

32

13

＜t≤4时，?PEQF和△ACD重叠部分图形的面积s就是△AEP的面积减去△AQM的面积，据此可以得到答案．
当?PEQF为菱形时，也分两种情况：①当

3

2

≤t≤

32

13

时，PE=EQ，即：

3t

4

=8-

13t

4

，可以求得t的值；②当

32

13

＜t≤4时，PE=EQ，即：

3t

4

=

13t

4

-8，求得答案．

解答：解：（1）①当0＜t≤

3

2

时，QD=BD-BP=3-2t；
②当

3

2

＜t≤4时，QD=2t-3．
（2）∵∠C=90°，AC=4，且CD=3，
∴AD=5
∵PE∥BC，
∴△AEP∽△ADC，
∴

AP

AC

=

AE

AD

，
∴AE=

5

4

t．
∵QD=2t-3，
∴2t-3+

5

4

t=5，
解得∴t=

32

13

．
（3）①如图①，当

3

2

≤t≤

32

13

时，s=

3

4

t[4-t-

4

5

(2t-3)]=-

39

20

t2+

24

5

t；
如图②，当

32

13

＜t≤4时，s=

1

2

t•

3

4

t-

1

2

•

3

5

•

4

5

(8-2t)2=-

117

200

t2+

192

25

t-

384

25

．

②：①当

3

2

≤t≤

32

13

时，
PE=EQ，
即：

3t

4

=8-

13t

4

，
解得：t=2；
②当

32

13

＜t≤4时，
PE=EQ，即：

3t

4

=

13t

4

-8，
解得：t=

16

5

．

点评：本题考查的是相似三角形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的及直角三角形的性质，解答本题的关键要学会分类讨论的思想．