题目内容

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且BC⊥OC于点C，点A的坐标为（2，2
3
），AB=4
3
，∠B=60°，点D是线段OC上一点，且OD=4，连接AD．
（1）求证：△AOD是等边三角形；
（2）求点B的坐标；
（3）平行于AD的直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移．设直线l被四边形OABC截得的线段长为m，直线l与x轴交点的横坐标为t．
①当直线l与x轴的交点在线段CD上（交点不与点C，D重合）时，请直接写出m与t的函数关系式（不必写出自变量t的取值范围）
②若m=2，请直接写出此时直线l与x轴的交点坐标．
考点：一次函数综合题,等边三角形的性质,勾股定理,矩形的性质,解直角三角形的应用
专题：综合题
分析：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，根据已知条件，依据三角函数求得∠AOM=60°，根据勾股定理求得OA=4，即可求得．
（2）过点A作AN⊥BC于点N，则四边形AMCN是矩形，在Rt△ABN中，根据三角函数求得AN、BN的值，从而求得OC、BC的长，得出点B的坐标．
（3）①如图3，因为∠B=60°，BC=4
3
，所以PC=12，EM=
3
2
m，因为OC=8，所以PO=4，OF=t，MF=t-
1
2
m，所以PM=4+（t-
1
2
m），根据△PME∽△PCB即可求得m=
1
2
t+2；
②如图4，△OEF是等边三角形所以OF=EF=m=2，在Rt△PCF′中∠CF′P=60°，∠BPE′=∠CPF′=30°，所以BP=PE′÷sin∠B=
4
3
3
，PC=4
3
-
4
3
3
=
8
3
3
，根据勾股定理求得CF′=
8
3
，所以OF′=8+
8
3
=
32
3
．
解答：解：（1）如图2，证明：过点A作AM⊥x轴于点M，

∵点A的坐标为（2，2
3
），
∴OM=2，AM=2
3

∴在Rt△AOM中，tan∠AOM=
AM
OM
=
2
3
2
=
3

∴∠AOM=60°
由勾股定理得，OA=
OM2+AM2
=
22+(2
3
)2
=4
∵OD=4，
∴OA=OD，
∴△AOD是等边三角形．

（2）如图2，解：过点A作AN⊥BC于点N，
∵BC⊥OC，AM⊥x轴，
∴∠BCM=∠CMA=∠ANC=90°
∴四边形ANCM为矩形，
∴AN=MC，AM=NC，
∵∠B=60°，AB=4
3
，
∴在Rt△ABN中，
AN=AB•sinB=4
3
×
3
2
=6，
BN=AB•cosB=4
3
×
1
2
=2
3

∴AN=MC=6，CN=AM=2
3
，
∴OC=OM+MC=2+6=8，
BC=BN+CN=2
3
+2
3
=4
3
，
∴点B的坐标为（8，4
3
）．


（3）①如图3，m=
1
2
t+2；
②如图4，（2，0），（
32
3
，0）．
点评：本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，直角三角函数的应用以及勾股定理的应用．
练习册系列答案
相关题目
下列不等式变形正确的是（　　）
A、由a＜b，得ac＜bc
B、由x＞y，且m≠0，得-
x
m
＜-
y
m
C、由x＞y，得xz2＞yz2
D、由xz2＞yz2得x＞y
如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，点D是BC的中点，连结AD．点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动；点Q以2cm/s的速度沿B→D→A向终点A运动，当点Q停止时，点P也随之停止．过点P作PE∥BC，交AD于点E，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）请用含t的代数式表示线段QD的长；
（2）当点E与点Q重合时，求t的值；
（3）如图②，当点Q在AD边上运动时，以PE和EQ为边作?PEQF，设?PEQF和△ACD重叠部分图形的面积为s．
①求s与t的函数关系式；
②当?PEQF为菱形时，请直接写出t的值．
画图并填空：
（1）画出图中△ABC的高AD（标注出点D的位置）；
（2）画出把△ABC沿射线AD方向平移3cm后得到的△A1B1C1；
（3）根据“图形平移”的性质，得BB1=
 
cm，AC与A1C1的位置关系是：
 
．
问题提出
平面内不在同一条直线上的三点确定一个面，那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否在同一个面上呢？
初步思考
设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O．
（1）当C、D在线段AB的同侧时．

如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB=∠ADB，理由是
 
．
如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB
 
∠ADB；
如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB
 
∠ADB（填“=”、“＞”、“＜”）
由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：
 
．
类比学习
（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．

    由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：
 
．
拓展延伸
（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？
已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，求作：CN⊥AB
作法：①连接CA、CB
②在CB上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；
③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；
④连接F、E并延长，交直径AB与M；
⑤连接D、M并延长，交⊙O于N，连接CN，则CN⊥AB．
请安上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）
若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为26°，求该三角形的一个底角的度数．
在某市中学生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了：22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分比前5场比赛的平均得分要高，如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分．
（1）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少；
（2）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足
CF
FD
=
1
3
，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．
（1）求证：△ADF∽△AED；
（2）求FG的长；
（3）求证：tan∠E=
5
4
．
如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE=CF．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．

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