题目内容

如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别是A（4，3），O（0，0），B（6，0）．点M是OB边上异于O，B的一动点，过点M作MN∥AB，点P是AB边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN．设点M（x，0），△PMN的面积为S．
（1）求出OA所在直线的解析式，并求出点M的坐标为（1，0）时，点N的坐标；
（2）求出S关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）若S：S△ANB=2：3时，求出此时N点的坐标．
考点：一次函数综合题,平行线的性质,相似三角形的应用
专题：代数几何综合题,压轴题
分析：（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）作AG⊥OB于G，NH⊥OB于H，利用勾股定理先求得AG的长，然后根据三角形相似求得NH：AG=OM：OB，得出NH的长，因为△MBN的面积=△PMN的面积=S，即可求得S与x的关系式．
（3）因为△AMB的面积=△ANB的面积=S△ANB，△NMB的面积=△NMP的面积=S，所以NH：AG=2：3，因为ON：OA=NH：AG，OM：OB=ON：OA，所以OM：OB=ON：OA=2：3，进而求得M点的坐标，求得MN的解析式，然后求得直线MN与直线OA的交点即可．
解答：解：（1）设直线OA的解析式为y=k1x，
∵A（4，3），
∴3=4k1，
解得k1=
3
4
，
∴OA所在的直线的解析式为：y=
3
4
x，
同理可求得直线AB的解析式为；y=-
3
2
x+9，
∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y=-
3
2
x+b，把M（1，0）代入
得：b=
3
2
，
∴直线MN的解析式为y=-
3
2
x+
3
2
，
解
y=
3
4
x
y=-
3
2
x+
3
2
，
得
x=
2
3
y=
1
2
，
∴N（
2
3
，
1
2
）．

（2）如图2，作NH⊥OB于H，AG⊥OB于G，则AG=3．
∵MN∥AB，
∴△MBN的面积=△PMN的面积=S，
∴△OMN∽△OBA，
∴NH：AG=OM：OB，
∴NH：3=x：6，即NH=
1
2
x，
∴S=
1
2
MB•NH=
1
2
×（6-x）×
1
2
x=-
1
4
（x-3）2+
9
4
（0＜x＜6），
∴当x=3时，S有最大值，最大值为
9
4
．

（3）如图2，∵MN∥AB，
∴△AMB的面积=△ANB的面积=S△ANB，△NMB的面积=△NMP的面积=S
∵S：S△ANB=2：3，
∴
1
2
MB•NH：
1
2
MB•AG=2：3，即NH：AG=2：3，
∴ON：OA=NH：AG=2：3，
∵MN∥AB，
∴OM：OB=ON：OA=2：3，
∵OA=6，
∴
OM
6
=
2
3
，
∴OM=4，
∴M（4，0）
∵直线AB的解析式为；y=-
3
2
x+9，
∴设直线MN的解析式y=-
3
2
x+b
把点M代入得：0=-
3
2
×4+b，
解得b=6，
∴直线MN的解析式为y=-
3
2
x+6，
解
y=
3
4
x
y=-
3
2
x+6
，
得
x=
8
3
y=2
，
∴N（
8
3
，2）．
点评：本题考查了待定系数法求解析式，直线平行的性质，三角形相似判定及性质，同底等高的三角形面积相等等，相等面积的三角形的转化是本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
下列说法中，错误的个数有（　　）
①如果a＞b，则ac2＞bc2；
②如果a＞b，则3-a＜3-b； 
③如果ax＞-a，则x＞-1；
④如果a＜b，则-2a＜-2b；
⑤如果a＜b，则a-b＞0．
A、2个B、3个C、4个D、5个
如果0＜x＜1，那么x，
1
x
，
x
，x2中，值最小的是（　　）
A、x
B、
1
x
C、
x
D、x2
如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，点D是BC的中点，连结AD．点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动；点Q以2cm/s的速度沿B→D→A向终点A运动，当点Q停止时，点P也随之停止．过点P作PE∥BC，交AD于点E，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）请用含t的代数式表示线段QD的长；
（2）当点E与点Q重合时，求t的值；
（3）如图②，当点Q在AD边上运动时，以PE和EQ为边作?PEQF，设?PEQF和△ACD重叠部分图形的面积为s．
①求s与t的函数关系式；
②当?PEQF为菱形时，请直接写出t的值．
如图，∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，BC=3，则AB的长是多少？
画图并填空：
（1）画出图中△ABC的高AD（标注出点D的位置）；
（2）画出把△ABC沿射线AD方向平移3cm后得到的△A1B1C1；
（3）根据“图形平移”的性质，得BB1=
 
cm，AC与A1C1的位置关系是：
 
．
问题提出
平面内不在同一条直线上的三点确定一个面，那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否在同一个面上呢？
初步思考
设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O．
（1）当C、D在线段AB的同侧时．

如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB=∠ADB，理由是
 
．
如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB
 
∠ADB；
如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB
 
∠ADB（填“=”、“＞”、“＜”）
由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：
 
．
类比学习
（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．

    由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：
 
．
拓展延伸
（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？
已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，求作：CN⊥AB
作法：①连接CA、CB
②在CB上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；
③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；
④连接F、E并延长，交直径AB与M；
⑤连接D、M并延长，交⊙O于N，连接CN，则CN⊥AB．
请安上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）
在某市中学生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了：22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分比前5场比赛的平均得分要高，如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分．
（1）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少；
（2）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？
已知2a-1的平方根是±3，3b+1的算术平方根是4，求a+2b的值．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网