Question

2．如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，
连结AP、PD，∠APD=60°．
（1）求证：①△ABP∽△PCD；②AP²=AD•AC；
（2）若PC=2，求CD和AP的长．

Answer 1

分析 （1）①由△ABC为等边三角形，易得∠B=∠C=60°，又∠APD=60°，由外角性质可得∠DPC=∠PAB，利用相似三角形的判定定理（AA）可得△ABP∽△PCD；
②由∠PAC=∠DAP，∠C=∠APD=60°，由相似三角形的判定定理（AA定理）可得△ADP∽△APC，利用相似三角形的性质可得结论；
（2）由△ABP∽△PCD，AB=AC=3，利用相似三角形的性质可得$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$，易得CD，可得AD，再利用AP²=AD•AC，可得AP．

解答 （1）证明：①在等边三角形△ACB中，∠B=∠C=60°，
∵∠APD=60°，∠APC=∠PAB+∠B，
∴∠DPC=∠PAB，
∴△ABP∽△PCD；
②∵∠PAC=∠DAP，∠C=∠APD=60°，
∴△ADP∽△APC，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AD}{AP}$，
∴AP²=AD•AC；

（2）解：∵△ABP∽△PCD，AB=AC=3，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$，
∴CD=$\frac{2×1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴AD=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$，
∵等边三角形△ACB的边长为3，PC=2，AP²=AD•AC，
∴AB=3，BP=1，
∴AP=$\sqrt{7}$，
∴CD=$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质及判定，由条件证得△ABP∽△PCD，△ADP∽△APC是解答此题的关键．