Question

13．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？
（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线与x轴交点坐标，则设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，再设E（t，-t+3），接着表示出D（0，-t+3），F（t，-t²+2t+3），然后用t表示出EF的长，再利用二次函数的性质确定EF最大时的t的值，从而判断点D是否为OC的中点；
（3）先由C（0，3），D（0，-t+3），F（t，-t²+2t+3）和利用两点间的距离公式表示出CD²，CF²，DF²，然后分类讨论：当CD=CF或FC=FD或DC=DF时得到关于t的方程，接着分别解关于t的方程即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得a•1•（-3）=3，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；
（2）他猜想正确．理由如下：
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C（0，3），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，则直线BC的解析式为y=-x+3，
设E（t，-t+3），则D（0，-t+3），F（t，-t²+2t+3），
所以EF=-t²+2t+3-（-t+3）=-t²+3t=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当t=$\frac{3}{2}$时，EF最大，最大值为$\frac{9}{4}$，
此时D点坐标为（0，$\frac{3}{2}$），
所以点D为OC的中点时，线段EF最长；
（3）∵C（0，3），D（0，-t+3），F（t，-t²+2t+3），
∴CD²=（-t+3-3）²=t²，CF²=t²+（-t²+2t+3-3）²=t²+（-t²+2t）²，DF²=t²+（-t²+2t+3+t-3）²=t²+（-t²+3t）²，
当CD=CF时，即t²=t²+（-t²+2t）²，解得t₁=0，t₂=2；
当FC=FD，即t²+（-t²+2t）²=t²+（-t²+3t）²，解得t₁=0，t₂=$\frac{5}{2}$；
当DC=DF时，即t²=t²+（-t²+3t）²，解得t₁=0，t₂=3；
综上所述，当t=2或$\frac{5}{2}$或3时，△CDF为等腰三角形．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会运用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；会利用分类讨论的思想解决数学问题；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式．