Question

7．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点A（2，5）和点B（m，1）．
（1）确定这两个函数的表达式；
（2）直线y=ax+b与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P是线段CD上一动点，求点P到点O的最短距离．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象上当的坐标特征求出m，得到两个函数的表达式；
（2）作OP⊥AB于P，根据勾股定理求出CD的长，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵点A（2，5）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=10，
则在反比例函数解析式为y=$\frac{10}{x}$，
∵点B（m，1）在反比例函数y=$\frac{10}{x}$的图象上，
∴m=10，
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=5}\\{10a+b=1}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
则一次函数解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+6；
（2）作OP⊥AB于P，
当x=0时，y=6，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+6与y轴的交点D的坐标为：（0，6），
当y=0时，0=-$\frac{1}{2}$x+6，
解得，x=12，
则y=-$\frac{1}{2}$x+6与x轴的交点C的坐标为：（12，0），
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
则$\frac{1}{2}$×CD×OP=$\frac{1}{2}$×OD×OC，即6$\sqrt{5}$×OP=72，
解得，OP=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式、正确求出反比例函数与一次函数的交点坐标是解题的关键．