Question

2．在边长为4cm的正方形ABCD中，点G是射线CB上的一点，E、F为直线AG上两个动点，连接DE、BF．
（1）当DE⊥AG，BF⊥AG时，探索线段AF、BF、EF之间的数量关系式，并证明．
（2）若点G在边BC上且BG=3cm，点E从A点以2cm/s的速度向G运动，同时点F从点G以1cm/s的速度向点A运动，（一个点到达终点，两个点同时停止），问当它们运动了多少秒后，S_△DEF与S_△BEF的差为$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 （1）判定△ABF≌△DAE（AAS），即可得出AE=BF，再根据AF=AE+EF，即可得到AF=BF+EF；
（2）设△BEF中，EF边上的高为BP，△DEF中，EF边上的高为DQ，则BP=$\frac{12}{5}$，DQ=AP=$\frac{16}{5}$，再根据S_△DEF与S_△BEF的差为$\frac{8}{5}$，即可得出EF=4，设运动时间为t，根据线段的和差关系列出方程，求得t的值．

解答 解：（1）AF=BF+EF．
理由：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=DA，∠DAB=90°，
又∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AFB=∠DEA=90°，∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠DEA}\\{∠BAF=∠ADE}\\{AB=DA}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE=BF，
又∵AF=AE+EF，
∴AF=BF+EF；

（2）∵BG=3cm，AB=4cm，
∴Rt△ABG中，AG=5cm，
如图所示，设△BEF中，EF边上的高为BP，△DEF中，EF边上的高为DQ，则
BP=$\frac{AB×BG}{AG}$=$\frac{12}{5}$，DQ=AP=$\sqrt{A{B}^{2}-B{P}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∵S_△DEF与S_△BEF的差为$\frac{8}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$×EF×（DQ-BP）=$\frac{8}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$×EF×（$\frac{16}{5}$-$\frac{12}{5}$）=$\frac{8}{5}$，
∴EF=4，
设运动时间为t，
在E，F相遇之前，AG-AE-GF=EF，
∴5-t-2t=4，
解得t=$\frac{1}{3}$；
在E，F相遇之后，AE+GF-AG=EF，
∴t+2t-5=4，
解得t=3；
又∵5÷2=2.5s，
∴t≤2.5，
∴t=3不合题意，
故t的值为$\frac{1}{3}$s．

点评 本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．解题时注意分类思想的运用．