Question

17．如图，以等腰直角△ABC的斜边BC为直角边向外作第二个等腰直角△BCD，再以等腰直角△BCD的斜边CD为直角边向外作第三个等腰直角△CDE，再以等腰直角△CDE的斜边DE为直角边向外作第四个等腰直角△DEF．连结AF分别交BC，DC，DE于点M，N，K，若S_△ABM+S_△DNK=13，则△CMN的面积为16．

Answer 1

分析 如图，由题意设AB=AC=a，则BC=BD=$\sqrt{2}$a，DC=CE=2a，DE=DF=2$\sqrt{2}$a，EF=4a，AF=$\sqrt{（3a）^{2}+（4a）^{2}}$=5a．由DN∥AB，推出$\frac{DN}{AB}$=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{2\sqrt{2}a}{3\sqrt{2}a}$=$\frac{2}{3}$．推出DN=$\frac{2}{3}$a，CN=CD-DN=$\frac{4}{3}$a，由AB∥CD，CM∥DK，推出△ABM∽△NCM∽△NDK，推出$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△DNK}}$=$\frac{9}{4}$，$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△CMN}}$=$\frac{9}{16}$，由S_△ABM+S_△DNK=13，推出S_△ABM=9，S_△CMN=16．

解答 解：如图，由题意设AB=AC=a，则BC=BD=$\sqrt{2}$a，DC=CE=2a，DE=DF=2$\sqrt{2}$a，EF=4a，AF=$\sqrt{（3a）^{2}+（4a）^{2}}$=5a．

∵DN∥AB，
∴$\frac{DN}{AB}$=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{2\sqrt{2}a}{3\sqrt{2}a}$=$\frac{2}{3}$．
∴DN=$\frac{2}{3}$a，CN=CD-DN=$\frac{4}{3}$a，
∵AB∥CD，CM∥DK，
∴△ABM∽△NCM∽△NDK，
∴$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△DNK}}$=$\frac{9}{4}$，$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△CMN}}$=$\frac{9}{16}$，
∵S_△ABM+S_△DNK=13，
∴S_△ABM=9，S_△CMN=16．
故答案为16．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识、解题的关键是学会利用参数解决问题，灵活运用相似三角形的性质，属于中考填空题中的压轴题．