Question

如图Rt△ABC中，AB=AC=2，P是斜边BC中点，∠EPF两边分别交边AB、AC于E、F，且AF=BE．
（1）点A到B C的距离等于

 

；
（2）说出△PEF的形状：

 

；
（3）用不等式表示EF取值范围：

 

；
（4）设FC=x，当x为什么值时，△PCF是等腰三角形？说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）利用等腰三角形的性质可知AP⊥BC，且可求得AP=

1

2

BC，再利用勾股定理求得BC即可求出点A到BC的距离；
（2）连接AP，可证明△APE≌△CFP，从而可判定△PEF的形状；
（3）由（2）可知△PEF为等腰直角三角形，所以EF的长与PE和PF有关，求出PE的取值范围即可得出EF的取值范围；
（4）分CF为底和腰两种情况进行求值即可．

解答：解：（1）连接AP，
∵AB=AC，P为BC中点，
∴AP⊥BC，
∵AB=AC=2，
∴BC=2

2

，
∴AP=

1

2

BC=

2

，
即点A到BC的距离为

2

，
故答案为：

2

；
（2）∵AB=AC，BE=AF，
∴AE=CF，
由（1）知AP=CP，且AP平分∠BAC，
在△AEP和△CFP中，

AE=CF ∠EAP=∠FCP AP=CP

，
∴△AEP≌△CFP（SAS），
∴PE=PF，∠APE=∠CPF，
∵∠APF+∠CPF=90°，
∴∠APE+∠APF=90°，
∴△PEF为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（3）∵E点在AB上，
∴当E点在A点或B点时PE最大，此时PE=AP=

2

，
当E点为AB中点时PE最小，此时PE=

1

2

AC=1，
∴1＜EF＜

2

，
故答案为：1＜EF＜

2

；
（4）当x=1或2时，△PCF为等腰三角形，理由如下：
当△PCF为等腰三角形时，因为∠C=45°，所以只有PF=CF或PC=PF，
当PF=CF时，此时PF⊥CF，可知F为AC中点，所以CF=

1

2

AC=1，
当PC=PF时，此时PC⊥PF，即F与点A重合，此时CF=AC=2，
综上可知当x为1或2时△PCF为等腰三角形．

点评：本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键．