Question

8．定义感知：我们把具有对称轴和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线y=-3（x-2）²+3与y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²-1的对称轴都是直线x=2，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．
初步运用：
（1）若抛物线y=3x²+mx-3与y=$\frac{1}{2}$x²-3x+5是“同向共轴抛物线”，则m=-18；
（2）若抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁与y=a₂x²+b₂x+c₂是“同向共轴抛物线”，则下列结论正确的是②④⑤．（只须填上正确结论的顺序号即可）
①$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$；②$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$；③$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{{c}_{2}}{{c}_{1}}$；④$\frac{{a}_{1}^{2}}{{a}_{2}^{2}}$=$\frac{{b}_{1}^{2}}{{b}_{2}^{2}}$；⑤$\frac{{a}_{1}-{a}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}-{b}_{2}}{{b}_{2}}$．
拓展延伸：若抛物线y=ax²-x+c与y=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，试求该抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据同向共轴抛物线的定义列出关系式，求出m的值；
（2）根据对称轴相同的抛物线称作“同向共轴抛物线列式，根据比例的性质解答即可；
（2）根据同向共轴抛物线的定义求出a，根据二次函数的性质解答．

解答 解：（1）由同向共轴抛物线的定义可知，-$\frac{m}{2×3}$=-$\frac{-3}{2×\frac{1}{2}}$，
解得，m=-18，
故答案为：-18；
（2）∵抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁与y=a₂x²+b₂x+c₂是“同向共轴抛物线”，
∴-$\frac{{b}_{1}}{2{a}_{1}}$=-$\frac{{b}_{2}}{2{a}_{2}}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$，②正确；
∴$\frac{{a}_{1}^{2}}{{a}_{2}^{2}}$=$\frac{{b}_{1}^{2}}{{b}_{2}^{2}}$，④正确；
由比例的性质可得，$\frac{{a}_{1}-{a}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}-{b}_{2}}{{b}_{2}}$，⑤正确；
由同向共轴抛物线的定义可知，同向共轴抛物线与c无关，
∴①③错误，
故答案为：②④⑤；
（3）由同向共轴抛物线的定义可知，-$\frac{-1}{2a}$=3，
解得，a=$\frac{1}{6}$，
y=$\frac{1}{6}$x²-x+c=$\frac{1}{6}$（x-3）²+c-$\frac{3}{2}$，
由题意得，c-$\frac{3}{2}$-1=±3，
解得，c=$\frac{11}{2}$或$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的是待定系数法求函数解析式、同向共轴抛物线的定义，灵活运用待定系数法、掌握同向共轴抛物线的定义是解题的关键．