Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC=10，BC=16，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD、AD，由三角形中位线定理可求得OD∥AB，可得OD⊥DE，可得DE为⊙O的切线；
（2）由条件可先求得CD、AD，再利用△BED∽△CDA，可求得DE．

解答 （1）证明：
连接OD、AD，

∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，
∴点D是BC的中点，
∵O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∴∠ODE=∠BED，
∵DE⊥AB，
∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：
∵AB=AC，且∠ADC=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=8，∠B=∠C，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=6，
∵∠BED=∠CDA，
∴△BED∽△CDA，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{BD}{AC}$，即$\frac{DE}{6}$=$\frac{8}{10}$，
∴AC=4.8．

点评 本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法是解题的关键，连接切点和圆心的半径是常用的辅助线．