Question

5．已知等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连结CE．
（1）如图①，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；
（2）如图②，若点D在BC延长线上，线段CD，CE和AB有怎样的数量关系？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图①，根据△ADE与△ABC都是等边三角形，容易得到全等条件证明△CAE≌△BAD，再根据全等三角形的性质可以证明题目的结论；
（2）如图②，根据（1）可知D的位置对△CAE≌△BAD没有影响，所以BD=CE，所以CE-CD=AB，证明方法与（1）相同．

解答 证明：（1）如图①，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD．
即∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；
∴CE+CD=DB+CD=BC=AB，
即CE+CD=AB；
（2）CE-CD=AB；
理由如下：如图②，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD．
即∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；
∴CE-AB=DB-BC=CD，即CE-CD=AB．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及类比思想的运用．发现全等三角形是解决问题的关键．