Question

10．若x=1是方程$\sqrt{{x}^{2}+2m}$=x-2m的一个根，则实数m的值是0．

Answer 1

分析 首先根据x=1是方程$\sqrt{{x}^{2}+2m}$=x-2m的一个根，把x=1代入方程$\sqrt{{x}^{2}+2m}$=x-2m，然后根据二元一次方程的求解方法，求出实数m的值是多少即可．

解答 解：∵x=1是方程$\sqrt{{x}^{2}+2m}$=x-2m的一个根，
∴$\sqrt{1+2m}=1-2m$，
∴2m²-3m=0，
解得m=0或m=$\frac{3}{2}$，
（1）当m=0时，
$\sqrt{1+2m}$=$\sqrt{1+2×0}=1$，
1-2m=1-2×0=1，
∵1=1，
∴m=0是方程$\sqrt{1+2m}=1-2m$的解．
（2）当m=$\frac{3}{2}$时，
$\sqrt{1+2m}$=$\sqrt{1+2×\frac{3}{2}}=2$，
1-2m=1-2×$\frac{3}{2}$=-2，
∵2≠-2，
∴m=$\frac{3}{2}$不是方程$\sqrt{1+2m}=1-2m$的解，
∴实数m的值是0．
故答案为：0．

点评 此题主要考查了无理方程的根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．（2）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．