Question

11．如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是12cm．

Answer 1

分析 设AF=x，则DF=6-x，由折叠的性质可知：EF=DF=6-x，在Rt△AFE，由勾股定理可求得：x=$\frac{9}{4}$，然后再证明△FAE∽△EBG，从而可求得BG=4，接下来在Rt△EBG中，由勾股定理可知：EG=5，从而可求得△EBG的周长为12cm．

解答 解：设AF=x，则DF=6-x，由折叠的性质可知：EF=DF=6-x．
在Rt△AFE，由勾股定理可知：EF²=AF²+AE²，即（6-x）²=x²+3²，
解得：x=$\frac{9}{4}$．
∵∠FEG=90°，
∴∠AEF+∠BEG=90°．
又∵∠BEG+∠BGE=90°，
∴∠AEF=∠BGE．
又∵∠EAF=∠EBG，
∴△FAE∽△EBG．
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{BE}{BG}$，即$\frac{\frac{9}{4}}{3}=\frac{3}{BG}$．
∴BG=4．
在Rt△EBG中，由勾股定理可知：EG=$\sqrt{B{E}^{2}+G{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
所以△EBG的周长=3+4+5=12cm．

点评 本题主要考查的是折叠的性质、勾股定理、相似三角形的综合应用，利用勾股定理求得AF的长是解题的关键．