Question

1．如图，Rt△ABC的∠A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D，求证：MA=MD．

Answer 1

分析 设AD和BC交于O，由M是BC中点，可得AM=BM=CM，再根据已知条件可得∠MAD=∠CAD-∠MAC=45°-∠C=45°-（90°-∠B）=∠B-45°，因为DM⊥BC，所以∠MDA=90°-∠DOM=90°-∠BOA=∠B-45°，进而可证明∠MDA=∠MAD，所以MA=MD．

解答 证明：如图所示：设AD和BC交于O，
∵M是BC中点，
∴AM=BM=CM，
∴∠MAC=∠C，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
∴∠MAD=∠CAD-∠MAC=45°-∠C=45°-（90°-∠B）=∠B-45°，
∵DM⊥BC，
∴∠MDA=90°-∠DOM，
=90°-∠BOA，
=90°-（180°-∠B-∠BAD），
=90°-（180°-∠B-45°），
=∠B-45°，
∴∠MDA=∠MAD，
∴MA=MD．

点评 本题考查了角平分线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质以及等腰三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等，解题的关键是证明∠MDA=∠MAD，进而可得MA=MD．