Question

12．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的判定方法得出四边形OAEC是平行四边形，进而得出△ODC≌△OFC（SAS），求出OF⊥CF，进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出DC的长，即可得出AB的长，

解答 （1）证明：如图所示：连接OF、OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，
∵E为BC边中点，AO=DO，
∴AO=$\frac{1}{2}$AD，EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AO=EC，AO∥EC，
∴四边形OAEC是平行四边形，
∴AE∥OC，
∴∠DOC=∠OAF，∠FOC=∠OFA，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠DOC=∠FOC，
∵在△ODC和△OFC中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OF}\\{∠DOC=∠FOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△ODC≌△OFC（SAS），
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴OF⊥CF，
∴CF与⊙O相切；

（2）解：如图所示：连接DE，
∵AO=DO，AF=EF，AD=2，
∴DE=20F=2，
∵E是BC的中点，
∴EC=1，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
DC=$\sqrt{D{E}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AB=CD=$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理和平行四边形的判定、切线的判定等知识，得出△ODC≌△OFC是解题关键．