Question

如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点F，延长CE到点G，使CG=AB，若∠BCE=45°，求证：点F、点G关于AB对称．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,轴对称的性质

专题：证明题

分析：连接AF，由BD⊥AC，CE⊥AB得到一对角为直角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABD与三角形ACE相似，得到∠ACE=∠ABD，再由一对直角相等，且夹边BE=CE，利用ASA得到三角形BEF与三角形ACE全等，利用全等三角形对应边相等得到AE=EF，再由AE=GE，等量代换得到GE=EF，再由AB垂直于GF，即可得到点F、点G关于AB对称．

解答：证明：连接AF，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠AEG=90°，
∵∠AEC=∠ADB=90°，∠CAE=∠BAD（公共角相等），
∴△ACE∽△ABD，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BCG=45°，
∴△AEG与△EBC都为等腰直角三角形，
∴AE=GE，BE=CE，
在△BEF和△CEA中，

∠BEF=∠AEC=90° BE=CE ∠ABD=∠ACE

，
∴△BEF≌△CEA（ASA），
∴EF=EA，
又∵GE=AE，
∴GE=EF，
又∵CE⊥AB，
∴F、G关于AB对称．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．