Question

2．（1）设n表示任意一个整数，则用含有n的代数式表示任意一个偶数为2n，用含有n的代数式表示任意一个奇数为2n-1；（答案直接填在题中横线上）
（2）用举例验证的方案探索：任意两个整数的和与这两个数的差是否同时为奇数或同时为偶数？你的结论是是；（填“是”或“否”，答案直接填在题中横线上）
（3）设a、b是任意的两个整数，试用“用字母表示数”的方法并分情况来说明a+b和a-b是否“同时为奇数”或“同时为偶数”？并进一步得出一般性的结论．
例：①若a、b都是偶数，设a=2m，b=2n，则a+b=2m+2n=2（m+n）；a-b=2m-2n=2（m-n）；
此时a+b和a-b同时为偶数．
请你仿照以上的方法并考虑其余所有可能的情况加以计算和说明；
（4）以（3）的结论为基础进一步探索：若a、b是任意的两个整数，那么-a+b、-a-b、a+b、a-b是否“同时为奇数”或“同时为偶数”？
（5）应用第（2）、（3）、（4）的结论完成：在2016个自然数1，2，3，…，2015，2016的每一个数的前面任意添加“+”或“-”，则其代数和一定是偶数．（填“奇数”或“偶数”，答案直接填在题中横线上）

Answer 1

分析 （1）根据奇数与偶数的定义写出即可；
（2）任意两个整数的和与这两个数的差是同时为奇数或同时为偶数；
（3）分①设a=2m，b=2n，②设a=2m，b=2n+1，③设a=2m+1，b=2n，④设a=2m+1，b=2n+1四种情况讨论可证明结论；
（4）由（3）的结论得出；
（5）应用第（2）、（3）、（4）的结论完成．

解答 解：（1）用含有n的代数式表示任意一个偶数为2n，用含有n的代数式表示任意一个奇数为2n+1或2n-1（奇数的表达式写出一个即可）；

（2）任意两个整数的和与这两个数的差是同时为奇数或同时为偶数；

（3）②设a=2m，b=2n+1，
则：a+b=2m+2n+1=2（m+n）+1a-b=2m-（2n+1）=2（m-n）-1，
此时a+b和a-b同时为奇数；
③设a=2m+1，b=2n，
则：a+b=2m+1+2n=2（m+n）+1a-b=2m+1-2n=2（m-n）+1，
此时a+b和a-b同时为奇数；
④设a=2m+1，b=2n+1，
则：a+b=2m+1+2n+1=2（m+n+1）a-b=（2m+1）-（2n+1）=2（m-n），
此时a+b和a-b同时为偶数，
由此可见：a+b和a-b要么同时为奇数，要么同时为偶数，
即a+b和a-b的奇偶性相同；  

（4）由（3）的结论：
-a+b=b-a与a+b=b+a奇偶性相同，
-a-b=-b-a与a-b=-b+a奇偶性相同，
因此-a+b、-a-b、a+b、a-b“同奇”或“同偶”；

（5）在2016个自然数1，2，3，…，2015，2016的每一个数的前面任意添加“+”或“-”，则其代数和一定是偶数．
故答案为：2n，2n+1或2n-1；是；偶数．

点评 本题主要考查了整式的加减，奇数与偶数的意义及推到偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数的过程．