Question

8．已知抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，若以点P，Q，C，O为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）通过解方程x²-2x-3=0可确定A点和B点坐标；通过计算自变量为0时的函数值可确定C点坐标；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，设P（t，t²-2t-3），则利用平行四边形的性质得到PQ=OC=3，PQ∥OC，于是可表示出Q点的坐标（t，-t），则|t²-2t-3+t|=3，然后去绝对符号得到两个关于t的一元二次方程，解方程求出t即可得到P点坐标．

解答 解：（1）当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0），B（3，0）；
当x=0时，y=x²-2x-3=-3，则C（0，-3）；
（2）设P（t，t²-2t-3），如图，
∵四边形OCPQ为平行四边形，
∴PQ=OC=3，PQ∥OC，
∴Q点的坐标可表示为（t，-t），
∴|t²-2t-3+t|=3，
当t²-2t-3+t=3，解得t₁=3，t₂=-2，
当t²-2t-3+t=-3，解得t₁=0（舍去），t₂=1，
综上所述，满足条件的P点坐标为（3，0）或（1，-4）或（-2，5）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了平行四边形的性质．