Question

9．如图，AB=AC，∠BAC=90°，以AB为直径作⊙O，OC交⊙O于D，延长BD交AC于E，求$\frac{CE}{AE}$的值．

Answer 1

分析 连接AD，设⊙O的半径为r，由圆周角定理和已知条件得出∠B=∠DAC，由勾股定理求出OC，由等腰三角形的性质和对顶角相等得出∠CDE=∠DAC，周长△CDE∽△ACD，得出对应边成比例$\frac{CD}{AC}=\frac{CE}{CD}$，求出CE，得出AE．

解答 解：连接AD，如图所示：
设⊙O的半径为r，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B=∠DAC，OC=$\sqrt{O{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$r，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB=∠CDE，
∴∠CDE=∠DAC，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△ACD，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{CE}{CD}$，
即$\frac{（\sqrt{5}-1）r}{2r}=\frac{CE}{（\sqrt{5}-1）r}$，
∴CE=（3-$\sqrt{5}$）r，
∴AE=AC-CE=（$\sqrt{5}$-1）r，
∴$\frac{CE}{AE}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似是解决问题的关键．