Question

10．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：BD=BE；
（2）若BO=AB，试判断线段OE、OD的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证．
（2）由矩形的性质和已知条件证出△AOB是等边三角形，得出∠ABO=60°，再证明△BDE是等边三角形，然后运用等边三角形的性质和三角函数即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE，
∴BD=BE．
（2）解：OE=$\sqrt{3}$OD；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴OA=BO，
∵BO=AB，
∴BO=AB=OA，即△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∵AB∥CD，
∴∠BDE=∠ABO=60°，
由（1）得：BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
又∵BO=DO，
∴OE⊥BD，
∴OE=$\sqrt{3}$OD．

点评 本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明△BDE是等边三角形是解决问题（2）的关键．