Question

1．如图，C、D是线段AB上两点，且AC=BD=$\frac{1}{6}$AB=1，点P是线段CD上一个动点，在AB同侧分别作等边△PAE和等边△PBF，M为线段EF的中点．在点P从点C移动到点D时，点M运动的路径长度为2．

Answer 1

分析 分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出M为PH中点，则M的运行轨迹为三角形HCD的中位线GN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出GN的长度即可．

解答 解：如图，分别延长AE、BF交于点H，
∵∠A=∠FPB=60°，
∴AH∥PF，
∵∠B=∠EPA=60°，
∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分．
∵M为EF的中点，
∴M正好为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线GN．
∵CD=6-1-1=4，
∴GN=$\frac{1}{2}$CD=2，即M的移动路径长为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点M移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．