Question

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（-3，0），与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与x轴的交点为E．
（1）求抛物线的解析式及E点的坐标；
（2）设点P是抛物线对称轴上一点，且∠BPD=∠BCA，求点P的坐标；
（3）若过点E的直线与抛物线交于点M、N，连接DM、DN，判断DM与DN的位置关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式，从而求出点E坐标；
（2）由对称性判断出FA=FB，再判断出△BPE∽△ACF即可；
（3）设出点M，N的坐标表示出MG，GD，DH，HN，判断出△MGD∽△DHN，再利用互余即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+3与x轴交于点A（-1，0），B（-3，0）
又a=-1，
∴y=-（x+1）（x+3），
∴y=-x²-4x-3
∵y=-x²-4x-3=-（x+2）²+1
∴E（-2，0）
（2）如图1，

设BC与对称轴交于点F，连接AF．
∵B（-3，0），C（0，-3）
∴∠OBC=45°
∵A、B两点关于对称轴对称，
∴FA=FB，
∴∠OBC=∠FAB=45°，
∴AF⊥BC，
∵∠BPD=∠BCA，
∴△BPE∽△ACF，
∴$\frac{PE}{BE}=\frac{CF}{AF}=2$
∴PE=2，
∴P₁（-2，-2），
由对称性可知，P₂（-2，2），
（3）垂直．如图2，

过点D作x轴的平行线l，分别过点M、N作MG⊥l，NH⊥l．
设过点E（-2，0）的直线的解析式为：y=kx+b，
则：-2k+b=0，
即：b=2k，
∴y=kx+2k，
设M（m，-m²-4m-3），N（n，-n²-4n-3），
则：MG=1+m²+4m+3=（m+2）²，GD=-2-m，
DH=n+2，HN=1+n²+4n+3=（n+2）²，
∴$\frac{MG}{GD}=\frac{（m+2）^{2}}{-2-m}$=-m-2，$\frac{DH}{NH}=\frac{n+2}{（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{n+2}$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-4x-3}\\{y=kx+2k}\end{array}\right.$，
∴x²+（4+k）x+（3+2k）=0，
∴m+n=-4-k，mn=3+2k，
∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=-3+2k-8-2k+4=-1，
∴-m-2=$\frac{1}{n+2}$
∴$\frac{MG}{GD}=\frac{DH}{HN}$
∵∠G=∠H=90°
∴△MGD∽△DHN
∴∠HDN=∠GMD
∵∠GMD+∠GDM=90°
∴∠HDN+∠GDM=90°
即：DM⊥DN．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求解析式，对称的性质，相似三角形性质和判定，解本题的关键是表示出线段．