Question

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△APQ，点C的对应点Q落在AB边上．连接BP，过点P作PH垂直于射线CA，垂足为H．
（1）如图1，若点H与点A重合，求∠BPQ的度数；
（2）如图2，若点H在CA边上（不与点A重合），BC=x，请用含x的代数式表示AH；
（3）若∠APB=∠PAH，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由旋转得到△ABC≌APQ，再判断出△APQ为等腰直角三角形，最后进行计算即可；
（2）先求出AB=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，再用△ABC∽△PMQ，表示出AM，最后△AMH∽△ABC求出AH，
（3）先判断出△PAB和△ABD是等腰三角形，用△APB∽△DPA得到比例式列出方程，求解即可．

解答 解：（1）由旋转得，△ABC≌APQ，
∴∠PAQ=∠BAC，AP=AB，AQ=AC，PQ=BC，PQ⊥AB，
∵PH⊥AC，
∴∠PAC=90°，
∴∠PAQ=∠BAC=45°，
∴△APQ为等腰直角三角形，
∴∠APQ=45°，
∵AP=AB，
∴∠APB=∠ABP=67.5°，
∴∠BPQ=∠APB-∠APQ=22.5°，
（2）由旋转得，AQ=AC=1，PQ=BC=x，
∴AB=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
设PH交AB于M，
∴△ABC∽△PMQ，
∴$\frac{MQ}{BC}=\frac{PQ}{AC}$，
∴$\frac{MQ}{x}=\frac{x}{1}$，
∴MQ=x²，
∴AM=1-x²，
∵△AMH∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AH}{AC}$，
∴$\frac{1-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+1}}=\frac{AH}{1}$，
∴AH=$\frac{1-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
（3）①当点H在线段AC上时，如图1，

延长PD交AC延长线于D，
∴∠PAB=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠PAH，∠APB=∠ABP，
∵∠PAH=∠APB，
∴∠APB=∠ABP=2∠PAB，
∴∠PAB=∠BAC=36°，∠APB=∠PAH=72°，
∴∠D=∠BAC=36°，
∴△PAB和△ABD是等腰三角形，
∴AP=AB=BD，AD=PD，
∵BC⊥AC，
∴PD=AD=2AC=2，
设AB=x，
∵△APB∽△DPA，
∴$\frac{PB}{AP}=\frac{AP}{PD}$，
∴$\frac{PB}{x}=\frac{x}{2}$，
∴PB=$\frac{1}{2}$x²，
∵BD=PD-PB，
∴x=2-$\frac{1}{2}$x²，
∴x=-1+$\sqrt{5}$或x=-1-$\sqrt{5}$（舍），
∴AB=-1+$\sqrt{5}$．
②当点H在射线CA上时，如图2，

∵∠APB=∠PAH，
∴PB∥HC，
∵∠H=∠C=90°，PA=AB，
∴△PAH≌△BAC，
∴AH=AC=1，
∵PA=BA，
∴∠APB=∠ABP=∠PAD，
∴△ADP∽△PAB，
设AB=x，
∴$\frac{PB}{AP}=\frac{AP}{PD}$，
∴$\frac{2}{x}=\frac{x}{PD}$，
∴PD=$\frac{1}{2}$x²，
∵BD=PB-PD，
∴x=2-$\frac{1}{2}$x²，
∴x=-1+$\sqrt{5}$或x=-1-$\sqrt{5}$（舍），
∴AB=-1+$\sqrt{5}$
即：AB的长为-1+$\sqrt{5}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是用相似得到的比例式表示线段．