Question

18．如图，AB是⊙O的直径，AO是⊙O₁的直径，⊙O的弦AD交⊙O₁于点C，BC的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AC=CD
（2）若BE与⊙O₁相切，C为切点，AC=2$\sqrt{2}$，求AB•AE的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由直径所对圆周角的性质得到OC⊥AD根据垂径定理可证结论；
（2）由直径所对圆周角的性质得到∠ACO=90°，∠E=90°，由弦切角的性质得到∠ACE=∠AOC，根据相似三角形的判定证得△ACE∽△AOC，由相似三角形的性质即可证得结论．

解答 （1）证明：连接O₁C，OC，
∵AO是⊙O₁的直径，
∴∠ACO=90°，即OC⊥AD，
∴AC=CD；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠E=90°，
∵AO是⊙O₁的直径，
∴∠ACO=90°，BE与⊙O₁相切，
∴∠ACE=∠AOC，
∴△ACE∽△AOC，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$，
∵AO=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{\frac{1}{2}AB}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$，
∴AB•AE=2AC²=2×（2$\sqrt{2}$）²=16．

点评 本题主要考查了圆周角、弦切角的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，能证得△ACE∽△AOC是解决问题的关键．