Question

20．如图，在平面直角坐标系中，Rt△PBD的斜边PB落在y轴上，tan∠BPD=$\frac{1}{2}$．延长BD交x轴于点C，过点D作DA⊥x轴，垂足为A，PD与x轴交于点E，OA=8，OB=6．
（1）求点C的坐标；
（2）若点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，求反比例函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出∠BDP=∠CDP=∠BOC=∠COP=∠DAO=∠DAC=90°，求出∠BPD=∠DCE，推出tan∠DCE=tan∠BPD=$\frac{1}{2}$=$\frac{BO}{OC}$，求出CO=2BO=12即可；
（2）根据tan∠DCE=tan∠BPD=$\frac{1}{2}$=$\frac{DA}{AC}$求出DA=$\frac{1}{2}$AC=2，即可求出D的坐标，代入反比例函数解析式求出k即可．

解答 解：（1）如图：

Rt△PBD的斜边PB落在y轴上，
∴BD⊥PD，
又∵DA⊥x轴，OC⊥OB，
∴∠BDP=∠CDP=∠BOC=∠COP=∠DAO=∠DAC=90°，
于是∠BPD+∠OEP=∠DCE+∠DEC=90°，
又∵∠OEP=∠DEC，
∴∠BPD=∠DCE，
∴tan∠DCE=tan∠BPD=$\frac{1}{2}$=$\frac{BO}{OC}$，
∴CO=2BO=12，
C点坐标是（12，0）；  
           
（2）∵tan∠DCE=tan∠BPD=$\frac{1}{2}$=$\frac{DA}{AC}$，
∴DA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（OC-OA）=$\frac{1}{2}$×（12-8）=2，
∴D（8，2），
点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，
∴k=8×2=16，
∴反比例函数的解析式为 y=$\frac{16}{x}$．

点评 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，解直角三角形的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键，难度适中．