Question

20．在平面直角坐标系中，点B、A分别在x轴和y轴上，连接AB，已知∠ABO=60°，BC平分∠ABO交y轴于点C，且BC=8．

（1）求点A的坐标；
（2）点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒2个长度单位的速度运动，过点P作PQ⊥y轴于Q，设点P的运动时间为t秒，试用t表示线段CQ的长；
（3）点D是点B关于y轴的对称点，在（2）的条件下，连接OP、DQ、CD，当$S{\;}_{△BOP}=\frac{9}{5}{S_{△DCQ}}$时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）首先在直角△BOC中，利用三角函数求得OC的长，然后证明BC=AC，则求得OA的长，得到A的坐标；
（2）分成P在线段BC上和在BC的延长线上两种情况进行讨论，利用三角函数求解；
（3）同（2）分成两种情况讨论，根据三角形面积公式利用t表示出△BPO和△DCQ的面积，然后解方程即可求解．

解答 解：（1）∵∠ABO=60°，BC是角平分线，
∴∠ABC=∠CBO=30°，
在直角△BOC中，OC=BC•sin∠CBO=$\frac{1}{2}$BC=4，即C的坐标是（0，4）．
又∵直角△ABO中，∠BAO=90°-∠ABO=90°-60°=30°，
∴∠BAO=∠ABC=30°，
∴AC=BC=8，
∴OA=8+4=12，
∴A的坐标是（0，12）；
（2）当0≤t≤4时，如图1，P在BC上，BP=2t，则PC=8-2t，
在直角△PCQ中，∠CPQ=∠CBO=30°，
则CQ=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$（8-2t）=4-t；
当t＞4时，P在BC的延长线上，如图2．
BP=2t，则CP=2t-8，
在直角△PCQ中，∠CPQ=30°，CQ=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$（2t-8）=4-4；
（3）在直角△BOC中，OB=BC•cos∠CBO=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，则B的坐标是（-4$\sqrt{3}$，0），则D的坐标是（4$\sqrt{3}$，0）．
当0≤t≤4时，如图1，P在线段BC上，作PF⊥OB于点F．则PF=$\frac{1}{2}$BP=t，则S_△BOP=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$t=2$\sqrt{3}$t，
CQ=4-t，则S_△DCQ=$\frac{1}{2}$（4-t）×4$\sqrt{3}$=-2$\sqrt{3}$t+8$\sqrt{3}$，
当$S{\;}_{△BOP}=\frac{9}{5}{S_{△DCQ}}$时，2$\sqrt{3}$t=$\frac{9}{5}$（-2$\sqrt{3}$t+8$\sqrt{3}$），解得：t=$\frac{18}{7}$；
当t＞4时，P在BC的延长线上，如图2．作PF⊥OB于点F．则PF=$\frac{1}{2}$BP=t，则S_△BOP=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$t=2$\sqrt{3}$t，
CQ=4-t，则S_△DCQ=$\frac{1}{2}$（t-4）×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$t-8$\sqrt{3}$，
当$S{\;}_{△BOP}=\frac{9}{5}{S_{△DCQ}}$时，2$\sqrt{3}$t=$\frac{9}{5}$（2$\sqrt{3}$t-8$\sqrt{3}$），解得：t=9．
总之，t=$\frac{18}{7}$或9．

点评 本题考查了三角函数，以及点的运动变化，注意分成两种情况，利用t表示出△BPO和△DCQ的面积是本题的关键．