Question

18．如图，直线y₁=x+2与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$交于A（a，4），B（m，n）．
（1）求k值和点B的坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）当y₁＞y₂时请直接写出x的取值范围；
（4）P为x轴上任意一点，当△ABP为直角三角形时，直接写出P点坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A在直线上可求出a，从而得出点A的坐标，由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
（2）联立直线与双曲线的解析式成方程组，解方程组即可求出点B的坐标；
（3）根据函数图象的上下位置关系结合交点坐标即可得出结论；
（4）设点P的坐标为（m，0），由两点间的距离公式求出AP、AB、BP，分AP、AB、BP为斜边来考虑，根据勾股定理得出关于m的方，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（a，4）在直线y₁=x+2上，
∴4=a+2，解得：a=2，
∴点A（2，4）．
∵点A（2，4）在双曲线y₂=$\frac{k}{x}$上，
∴k=2×4=8．
（2）联立直线与双曲线解析式成方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴点B（-4，-2）．
（3）观察函数图象，发现：
当-4＜x＜0或x＞2时，直线在双曲线的上方，
∴当y₁＞y₂时x的取值范围为-4＜x＜0或x＞2．
（4）设点P的坐标为（m，0），
则AB=$\sqrt{（-4-2）^{2}+（-2-4）^{2}}$=6$\sqrt{2}$，AP=$\sqrt{（m-2）^{2}+（0-4）^{2}}$，BP=$\sqrt{（-4-m）^{2}+（-2-0）^{2}}$，
△ABP为直角三角形分三种情况：

①AB为斜边时（图1），有AB²=AP²+BP²，即72=（m-2）²+16+（m+4）²+4，
解得：m₁=-1-$\sqrt{17}$，m₂=-1+$\sqrt{17}$，
此时点P坐标为（-1-$\sqrt{17}$，0）或（-1+$\sqrt{17}$，0）；
②AP为斜边时（图2），有AP²=AB²+BP²，即（m-2）²+16=72+（m+4）²+4，
解得：m₃=-6，
此时点P坐标为（-6，0）；
③BP为斜边时（图3），有BP²=AB²+AP²，即（m+4）²+4=72+（m-2）²+16，
解得：m₄=6，
此时点P坐标为（6，0）．
综上可知：当△ABP为直角三角形时，P点坐标为（-1-$\sqrt{17}$，0）、（-1+$\sqrt{17}$，0）、（-6，0）或（6，0）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）联立两函数解析式成方程组；（3）根据函数图象的上下位置关系解不等式；（4）分三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，但解题过程较繁琐，该题的难点是分类讨论，根据直角三角形的斜边不同，分别根据勾股定理找出关于m的方程是关键．