Question

4．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）当点D在AC上时，如图1，试猜想线段BD和CE的数量关系是相等；位置关系是垂直．
（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角，（0°＜α＜90°），如图2，（1）中的结论是否成立，若成立，请给出证明；若不成立说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长BD与EC交于点F，可以证明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，且∠BFE=90°，即可解题；
（2）BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；延长BD交AC于F，交CE于H，构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°．

解答 解：（1）延长BD与EC交于点F，

在△ACE和△ADB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB，
∵∠ADB+∠ABD=90°
∴∠ABD+∠AEC=90°
∴∠BFE=90°，
∴BD⊥CE．
故答案为：相等，垂直；

（2）成立，
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE，
延长BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF与△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC
∴∠CHF=∠BAF=90°，
∴BD⊥CE．

点评 本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质得出三角形的两条边相等，据此根据判定证三角形的全等是解题的关键．