Question

9．如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S_{四边形AOBO′}=6+3$\sqrt{3}$．其中正确的结论是①②③．

Answer 1

分析 连接OO′，如图，先利用旋转的性质得BO′=BO=4，∠OBO′=60°，再利用△ABC为等边三角形得到BA=BC，∠ABC=60°，则根据旋转的定义可判断△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；接着证明△BOO′为等边三角形得到∠BOO′=60°，OO′=OB=4；根据旋转的性质得到AO′=OC=5，利用勾股定理的逆定理证明△AOO′为直角三角形，∠AOO′=90°，于是得到∠AOB=150°；最后利用S_{四边形AOBO′}=S_△AOO′+S_△BOO′可计算出S_{四边形AOBO′}=6+4$\sqrt{3}$．

解答 解：连接OO′，如图
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴BO′=BO=4，∠OBO′=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，则①正确；
∵BO′=BO=4，∠OBO′=60°，
∴△BOO′为等边三角形，
∴∠BOO′=60°，OO′=OB=4，所以②正确；
∵△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
∴AO′=OC=5，
在△AOO′中，∵OA=3，OO′=4，AO′=5，
∴OA²+OO′²=AO′²，
∴△AOO′为直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，所以③正确；
S_{四边形AOBO′}=S_△AOO′+S_△BOO′=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=6+4$\sqrt{3}$，所以④错误．
故答案为①②③．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和勾股定理的逆定理．