Question

5．如图，BD是等腰直角△ABC的腰AC上的中线，AE⊥BD交BD、BC于E、F，
求证：（1）∠ABD=∠CAF；
（2）∠ADB=∠CDF．

Answer 1

分析 （1）由∠BAC为直角，得到其他两锐角互余，又根据AE与BD垂直，得到三角形ADF为直角三角形，故两锐角也互余，根据同角的余角相等即可得证；
（2）过A、D分别做BC的垂线，设AG的长为1，得出与之相关联的线段的长度，进而利用角的正切值相等得出∠DBH=∠FDH，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠ADF=90°，
又AE⊥BD，∴∠AFD=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠ABD=∠CAF；
（2）过A、D分别做BC的垂线，垂足分别为G、H．
设AG=1，那么CG=1，DH=$\frac{1}{2}$，BH=$\frac{2}{3}$，
tan∠DBH=$\frac{1}{3}$，
又∵∠GAF=∠DBH，
∴GF=$\frac{1}{3}$AG=$\frac{1}{3}$，
FH=GH-GF=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
tan∠FDH=$\frac{FH}{DH}$=$\frac{1}{3}$，
∴∠DBH=∠FDH
∵∠ADB=∠DBH+∠C，
∠CDF=∠FDH+∠CDH，
∴∠ADB=∠CDF

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及由正切值判定两个角相等，无论是证明还是计算题，都应该从不同角度思考，利用已学知识熟练求解．