Question

12．已知三角形的两边长是方程x²-2$\sqrt{3}$x+1=0的两根．则三角形的第三边c的取值范围是2$\sqrt{2}$＜c＜2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设方程x²-2$\sqrt{3}$x+1=0的两根为a和b，根据根与系数的关系得到a+b=2$\sqrt{3}$，ab=1，再利用完全平方根是得到|a-b|=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$，则可计算出|a-b|=2$\sqrt{2}$，然后根据三角形三边的关系可确定c的取值范围．

解答 解：设方程x²-2$\sqrt{3}$x+1=0的两根为a和b，
根据题意得a+b=2$\sqrt{3}$，ab=1，
所以|a-b|=$\sqrt{（a-b）^{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-4×1}$=2$\sqrt{2}$，
所以2$\sqrt{2}$＜c＜2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{2}$＜c＜2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了三角形三边的关系．