Question

19．已知抛物线的顶点为（-1，4），且在x轴上截得的弦长为6，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 设此抛物线的解析式为：y=a（x-h）²+k，由已知条件可得h=-1，k=4，再有条件：它在x轴上截得的线段长为6，求出a的值即可．

解答 解：设此抛物线的解析式为：y=a（x-h）²+k，
∵抛物线的顶点坐标为（-1，4），
∴，
∴y=a（x+1）²+4，
∵且它在x轴上截得的线段长为6，
令y=0得，方程0=a（x+1）²+4，
即：ax²+2ax+a+4=0，
∵抛物线y=a（x+1）²+4在x轴上的交点的横坐标为方程的根，设为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=$\frac{a+4}{a}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=6，
即4-4×$\frac{a+4}{a}$=36
解得：a=-$\frac{4}{9}$，
∴该抛物线的解析式为：y=-$\frac{4}{9}$（x+1）²+4．

点评 此题主要考查了用顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程与二次函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．