Question

9．已知a+b=1，ab=-1．设S₁=a+b，S₂=a²+b²，S₃=a³+b³，…，S_n=aⁿ+bⁿ．
（1）计算S₂；
（2）请阅读下面计算S₃的过程：
a³+b³=
=（a³+b²a）+（b³+a²b）-（b²a+a²b）
=（a²+b²）a+（a²+b²）b-ab（b+a）
=（a+b）（a²+b²）-ab（a+b）
∵a+b=1，ab=-1，∴S₃=a³+b³=（a+b）（a²+b²）-ab（a+b）=1×S₂-（-1）×1=S₂+1=4．
你读懂了吗？请你先填空完成（2）中S₃的计算结果，再计算S₄；
（3）猜想并写出S_n-2，S_n-1，S_n三者之间的数量关系（不要求证明），根据得出的数量关系计算S₉．

Answer 1

分析 （1）根据完全平方公式即可求出S₂；
（2）根据得出的结论，代入即可求出S₃；根据完全平方公式即可求出S₄；
（3）根据（1）（2）求出的结果得出规律，即可求出答案．

解答 解：（1）S₂=a²+b²=（a+b）²-2ab=1²-2×（-1）=3；

（2）S₃=S₂+1=3+1=4，
故答案为：4；
∵S₄=a⁴+b⁴=（ a²+b²）²-2a²b²=（ a²+b²）²-2（ab）²，
又∵a²+b²═3，ab=-1，
∴S₄=7；

（3）∵S₁=1，S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴S₁+S₂=S₃，S₂+S₃=S₄．
猜想：S_n-2+S_n-1=S_n．
∵S₃=4，S₄=7，
∴S₅=S₃+S₄=4+7=11，
∴S₆=S₄+S₅=7+11=18，
∴S₇=S₅+S₆=11+18=29，
∴S₈=S₆+S₇=18+29=47，
∴S₉=S₈+S₇=47+29=78．

点评 本题考查了整式的混合运算和求值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键，规律是S_n-2+S_n-1=S_n．