Question

9．如图，A、B分别是x、y轴上的点，且OA=OB=1，P是函数y=$\frac{1}{2x}$（x＞0）图象上的一动点，过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，M、N分别为垂足，线段PM，PN分别交线段AB于E、F．求证：AF•BE=1．

Answer 1

分析 首先求得直线AB的解析式，然后设P的横坐标是m，则P的坐标是（m，$\frac{1}{2m}$），求得AF和BE的长，即可证明．

解答 证明：∵OA=OB=1，
∴A和B的坐标分别是（1，0）和（0，1）．
设AB的解析式是y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
则直线AB的解析式是y=-x+1．
设P的横坐标是m，则P的坐标是（m，$\frac{1}{2m}$）．
在y=-x+1中，令x=m，则y=-m+1，则E的坐标是（m，-m+1）．
在y=-x+1中，令y=$\frac{1}{2m}$，则$\frac{1}{2m}$=-x+1，解得x=1-$\frac{1}{2m}$，则F的坐标是（1-$\frac{1}{2m}$，$\frac{1}{2m}$）．
则BE=$\sqrt{{m}^{2}+【1-（-m+1）{】}^{2}}$=$\sqrt{2}$m，
AF=$\sqrt{【1-（1-\frac{1}{2m}）{】}^{2}+（\frac{1}{2m}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2m}$．
则AF•BE=$\frac{\sqrt{2}}{2m}$•$\sqrt{2}$m=1．

点评 本题考查了反比例函数的性质的综合应用，正确求得E和F的坐标，表示出AF和BE的长是本题的关键．