Question

5．观察下列各式：
$\frac{{1}^{2}+1-1}{{1}^{2}+1}$=1-$\frac{1}{{1}^{2}+1}$=1-（1-$\frac{1}{2}$）；
$\frac{{2}^{2}+2-1}{{2}^{2}+2}$=1-$\frac{1}{{2}^{2}+2}$=1-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）；
$\frac{{3}^{2}+3-1}{{3}^{2}+3}$=1-$\frac{1}{{3}^{2}+3}$=1-（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）；
…
计算：$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}+2}$+$\frac{11}{{3}^{2}+3}$+…+$\frac{201{5}^{2}+2015-1}{201{5}^{2}+2015}$=2014$\frac{1}{2016}$．

Answer 1

分析 根据题意将待求算式拆开可得1-（1-$\frac{1}{2}$）+1-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+1-（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+1-（$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）=1×2015-（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$），即可得答案．

解答 解：根据题意得原式=1-（1-$\frac{1}{2}$）+1-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+1-（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+1-（$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=1×2015-（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=2015-$\frac{2015}{2016}$
=2014$\frac{1}{2016}$，
故答案为：2014$\frac{1}{2016}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，弄清题目所列等式的规律并熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．