Question

17．如图，直线y=mx+n与双曲线y=$\frac{k}{x}$相交于A（-1，2）、B（2，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求m，n的值；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；
（3）在坐标轴上是否存在异于D点的点P，使得S_△PAB=S_△DAB？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出m，n的值；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征求出点D的坐标，利用三角形面积公式计算即可；
（3）分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况，利用三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵点A（-1，2）在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴2=$\frac{k}{-1}$，
解得，k=-2，
∴反比例函数解析式为：y=-$\frac{2}{x}$，
∴b=$\frac{-2}{2}$=-1，
则点B的坐标为（2，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=2}\\{2m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得，m=-1，n=1；
（2）对于y=-x+1，当x=0时，y=1，
∴点C的坐标为（0，1），
∵点D与点C关于x轴对称，
∴点D的坐标为（0，-1），
∴△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
（3）对于y=-x+1，当y=0时，x=1，
∴直线y=-x+1与x轴的交点坐标为（0，1），
当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），
S_△PAB=$\frac{1}{2}$×|1-a|×2+$\frac{1}{2}$×|1-a|×1=3，
解得，a=-1或3，
当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），
S_△PAB=$\frac{1}{2}$×|1-b|×2+$\frac{1}{2}$×|1-b|×1=3，
解得，b=-1或3，
∴P点坐标为（-1，0）或（3，0）或（0，-1）或（0，3）．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、函数图象上点的坐标特征是解题的关键．