Question

8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E为垂足，点F为$\widehat{BC}$的中点，连接DA，DF，DF交AB于点G．

（1）如图1，求证：∠AGD=∠ADG；
（2）如图2，连接AF交CE于点H，连接HG，求证：CH=HG；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OP⊥AD，点P为垂足，若OP=BG，DG=4，求HG长．

Answer 1

分析 （1）证明：连接BD．由∠AGD=∠DBG+∠BDG，∠ADG=∠ADE+∠EDG，可知只要证明∠CDF=∠BDF，∠ADC=∠DBA即可．
（2）欲证明CH=HG，只要证明△ACH≌△GAH即可．
（3）连接FO，过点F作FK⊥BG于点K，连接FB、AC，连接CG交AF于点R．由△OAP≌△FOK，推出FK=OP，FG=FB，FK=2GK，由DE∥FK，
推出∠GFK=∠CDG，由EG垂直平分CD，推出CG=DG=4，∠GCE=∠GDC，∠GCE=∠GFK，由AC=AG，∠CAH=∠GAH，推出CR=RG=2，tan∠HCR=tan∠GFK，推出$\frac{HR}{CR}$=$\frac{GK}{FK}$，即$\frac{HR}{2}$=$\frac{1}{2}$，求得HR=1，在Rt△HCR中，CH²=HR²+CR²=1²+2²=5，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：连接BD．

∵F为$\widehat{BC}$的中点，
∴∠CDF=∠BDF，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ADC=∠DBA，
∴∠AGD=∠DBG+∠BDG，
∵∠ADG=∠ADE+∠EDG，
∴∠AGD=∠ADG．

（2）证明：连接AC．

∵$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴AC=AD，
∵∠AGD=∠ADG，
∴AG=AD，
∴AC=AG，
∵F为$\widehat{BC}$的中点，
∴∠CAH=∠GAH，
在△AHC和△AHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AG}\\{∠CAH=∠GAH}\\{AH=AH}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△GAH，
∴CH=HG．

（3）解：连接FO，过点F作FK⊥BG于点K，连接FB、AC，连接CG交AF于点R．

∵$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴AC=AD，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE=∠CAE=2∠HAE，
∵∠FOB=2∠HAE
∴∠DAE=∠FOB，
∵OA=OF，∠OPA=∠FKO=90°，
∴△OAP≌△FOK，
∴FK=OP，
∵∠FBA=∠ADF，又∵∠AGD=∠ADG，∠AGD=∠FGB
∴∠FBG=∠FGB，
∴FG=FB，
∵FK⊥BG，
∴GK=KB，
∵OP=FK=GB，
∴FK=2GK
∵∠DEG=∠FKG=90°，
∴DE∥FK，
∴∠GFK=∠CDG，
∵EG垂直平分CD，
∴CG=DG=4，
∴∠GCE=∠GDC，
∴∠GCE=∠GFK，
∵AC=AG，∠CAH=∠GAH，
∴CR=RG=2，
∵∠HCR=∠GFK，
∴tan∠HCR=tan∠GFK，
∴$\frac{HR}{CR}$=$\frac{GK}{FK}$，即$\frac{HR}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴HR=1，
在Rt△HCR中，CH²=HR²+CR²=1²+2²=5，
∴CH=$\sqrt{5}$，
∴HG=CH=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查圆综合题、锐角三角函数、垂径定理、圆周角定理、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，正确寻找中全等三角形，属于中考压轴题．